Wavelet Analysis of Some Viral Infection Diseases(Measles)

Wavelet Analysis of Some Viral Infection Diseases (Measles)

ウイルス感染症の流行に関するウェーブレット解析（麻疹 -はしか-）

埼玉県における麻疹（はしか）の週毎の発生患者数の1991年から1997年までの7年間の時系列データについて解析をした。
下図は，1991年から1997年間の麻疹（はしか）の発生患者の週毎の時系列データのグラフである。1991年1月の第1週を0としている。
1994年より，麻疹（はしか）のVaccine（予防接種）が，全額公費負担で無料になったため，発生数が激減しており，グラフの前半にみられるような流行時の大きなピークは，認められない。
しかし，グラフの後半にも，幾つかの小さなピークが散在するが，これらを，麻疹の流行と考えてよいのであろうか？
麻疹の流行の特徴を抽出し，その特異点を明らかのするために，Wavelet Transform Modulus Maxima ("a wavelet tour of signal processing",Stephone Mallat,Academic Press,2nd Edition,p176-p219), および，Dyadic Wavelet Transform (p148-p156)にて分析した。

まず，その前に，簡単に，Fractal次元などに関して， "FRACTAL SURFACES",John C.Russ,Plenum,1994の方法にて，検討した。
FFTでは，slope=-1.19,Dimension=1.905であった。

下図は，MexicanHatによる連続ウェーブレット変換（CWT continumous wavelet transformation)である。

下図は，MexicanHatにより，Vertical Local Maxima Line（"Shape Analysis and Classification Theory and Practice",Luciano da Fontoura Coata and Roberto Marcondes Cesar Jr.,CRC Press,p502-p532)を求めた画像である。
レベル5を超える7本のVLML(Vertical Local Maxima Line)が観察される。それぞれ，1991年1月の最初の週を第0週として，line Aは，第18週，line Bは,第72週，Cは，第120週，Dは，第173週，E1は，第228週，Fは，第277週，Gは，第327週に相当する。
尚，黒い線は，Vertical Local Minima Lineを意味する。

下図は，CWTの画像と，VLML(Vertical Local Maxima Line)の画像を重ね合わせた画像である。

下図は，Gauss関数の第1次導関数をマザー・ウェーブレットとするCWTのVLML(Vertical Local Maxima Line)の画像である。
line Eの位置が，MexicanHatと比較して，前方，第216週に変化していることに注目いただきたい。(E2と表記する。) この点については，後で，解説する。

MexicanHatによるVLML(vertical local maxima line)において，VLMを生の数値データで，表示した図である。A,Bなど周波数が低くなるにつれて，あるレベルまで，大きくなっていること（Gray Scaleでは白くなる）と，B,E2など低周波数部分と高周波数の部分で，白さが変化しない2種類があることが，わかる。
また，E1は，数値が低いので，この画像では，描出されていない。

E1E2部分の拡大図である。レベル3，レベル4からは，直線にはならず，曲がりくねっている。また，赤い色調が，ある程度のレベルまで，一定であることから，Powerの周波数への依存はないと推定される。

下図は，MexicanHatの7本のVLMLに関して，scaleとウェーブレット係数について,log-log plotしたグラフである。
7本のVLMLのslopeは，2つのグループに大別される。line Bとline Eのslopeは，A,C,D,Fのslopeと明らかに異なる。
E1,E2は，いずれも，傾きは，Zeroに近い。また，一番下は，コントロールにとった，インパルス・データであり，そのslopeは，0.5となっている。
B,Eは，その流行が，免疫のない集団のみの一過性の流行であり，既に，前年，前々年の流行で，その集団の多くが，免疫を有しておれば，二次的に，伝染する対象がなく，感染の拡大にいたらず，終焉する。
これに対し,A,C,D,Fのピークの形態は，第１次の感染グループに引き続き，免疫を持たない第二，第三の集団が存在することで，形成されると考えられる。
この点については，後の，Spline Dyadic Wavelet Transformation(Mallat,p152)と， Dyadic Maxima(Mallat p183)で，解説する。
また，Lipschitz指数( Lipschitz exponent)の高い感染パターンとLipschitz指数の低い感染パターンが同じように出現しており，予防接種により，感染率は，低下したが，接種無料化の前後で，そのFractal(フラクタル)な性質に，変化がないことが，伺える。
Hurst指数については，http://www.swin.edu.au/chem/bio/fractals/の　 jonesdoc.pdf　若しくは jones6.doc "Wavelet Packet Computation of the Hurst Exponent" C.L.Jones et.al.や，
http://www.cwi.nl/~zbyszek/　のSt_FRACYTALS_00.pdf "Determining local singularity strengths and their spectra with the wavelet transform" ZBIGNIEW R. STRUZIK や，
http://www.stat.uconn.edu/~yzwang/paper/similar.ps "Self-Similarity Index Estimation via Wavelets for Locally Self-Similar Processes" Yazhen Wang
等を参考にさせていただいた。

MallatのSpline Dyadic WaveletによるFast Daydic Transformにより，"Algorithme a Trous"にて，レベル8まで分解したものが，下図である。
黒い矢印が，第216週，白い矢印が，第228週である。

Modulus Maxima of Fast Dyadic Wavelet Transformation

次の図は，Daydic Wavelet TransformのModulus maximaにより，レベル8まで分解した図である。
line Bの第72週のg8の正方形で囲んだ部分と，line C の第120週のg8の円で囲んだ部分に注目していただきたい。line Bの正方形で囲んだ部分では，Gauss関数の第一次導関数が，マザー・ウェーブレットであるので，波のようなピークが，下，上の順で，出現している。これに対して，line C のg8の円で囲んだ部分では，下方に向かう波に続いて，三つの上向きの波が，認められ，最後尾の波が一番大きい。
これは，下にそのモデルを示すが，幾つかの波が時間をずらして重なった時，Spline Dyadic Waveletが，Gauss関数の第一次導関数であり，これは，次の図の右のsingle peakのFast Daydic Transformのg1からg7でみられるように，下方に向かい次に上方に向かう曲線となる。
次の図の左のGauss関数を三つずらして合成した場合には，最初の下に向かうピークと，最後尾の上に向かうピークは，大きくなるが，他は，下向きのピークと，上向きのピークが，打消しあって，低くなる。類似した波形が，近くに存在すると，附近の下向きの波と上向きのピークが,干渉し，打ち消しあうことで，最も先頭のピークと最後尾の波が強調されることになる。
line F,line Aの前方に見られる幾つかの下向きのピークも，同じように説明できる。
line Eは，波形からは，single peakに近いものであるので， log-log plotでは，line Bと類似したslopeを示したが，第207週，第216週にも，程よい間隔で，同じような波形が出現している為，あるマザー・ウェーブレット（ガウス関数の第一次導関数，Morletなど)では，第216週を示し，MexicanHat，Gabor2Realでは，第228週を示したものと考えられる。
しかし，上の図で，ガウス関数の第一次導関数のVLMLとMexicanHatのVLMLで示したように，垂直方向の歪みは，MexicanHatが最も，少ないため，またその直線性に優れているため，line E に，第228週を当てるのが，順当と考えている。

下の図の左のサンプル・データは，Quadratic spline waveletのscaling関数の第3分解レベルのものを時間をずらして，3つ合成したものである。右は，単独のスケーリング関数である。これを，レベル7まで，Fast Dyadic Transformした。FDTでは，普通のWavelet Transformと異なり，downsamplingやupsamplingがされない"Algorithmie a Trous"が使われる。

下の図は，Gabor2Powerを，マザー・ウェーブレットとした位相に関する連続ウェーブレット変換である。位相に関するVLMLをみても（未提示）最初の三年と後の4年では，位相に変化がみられる。

下の図は，Gabor2を，マザー・ウェーブレットとした連続ウェーブレット変換によるVLMLである。line Eは，第228週にみられる。

下図は，エジプトのナイル川の622 ADから1284 ADまでの663年間の水位（meter)の変化を示したグラフである。

下図は，上のNile.datについて，"Chaos and Order in the Capital Markets" by Edgar E. Peters, 2nd edition, WILEY,New York,1996,page61-page121 の方法で，Hurst係数を求めたものである。Hurst係数0.906を得ている。Hurst係数が，0.5未満では，過去の現象の逆の現象が起こり易くなり，0.5の場合は，過去の現象とは，無関係であり，0.5を越えると過去の事象の影響を受け易くなる。Hurst係数0.906であるということは，Manderbrotの云うヨゼフ効果を意味しており，”7年の豊作が続いたあとに，7年の飢饉をおこる"いう聖書の言葉と一致する。

埼玉県における麻疹（はしか）の週毎の発生患者数のデータについて，上記方法で，Hurst係数を求めると，0.844であり，過去の事象の影響を大きく受けることがわかる。つまり，過去に大きな流行があれば，今後も，麻疹の流行は続く可能性が大きく，過去に，大きな流行がなければ，今後も流行はないと考えられる。また，91年から，93年までのデータのHurst係数は，0.984，94年から，97年までのデータのHurst係数は，0.968であり，ワクチンの無料化の前後で，麻疹の流行のHurst係数に変化はみられなかった。データ数が，少なく，不確実な結果しか得られていないが，"Nonlinear Time Series Analysis",Holger Kantz Thomas Schreiber,Cambrige,1997,page262-277の方法で，最大リヤプノフ指数（Maximun Lyapunov exponent)を求めると，0.0969とであり，0.0を越えており，カオスと考えてよさそうである。また，相関次元(Correlation dimension)は，埋め込み次元m=2で，もっとも，直線性が保たれており，その傾きから，1.1089 を得ており，元の時系列データは，2次元の比較的簡単な数式で支配されていると考えられる。

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